5.6 函数列、函数项级数与一致收敛

前五节讨论的对象都是数：数列、级数、函数在某点的极限。本节把讨论的对象换成函数。函数列 $\{f_n\}$ 的极限是一个函数 $f$，这个说法有两种解释方式，两者的差别决定了极限运算能否与连续、积分、求导交换次序。5.5 节末尾留下的问题正是这个：积分与极限交换需要什么条件。答案是一致收敛，它是逼近理论、数值分析与后续 Fourier 分析共同的前提。

本节按三条线索展开。语言线索给出两种收敛的定义与判别工具：逐点收敛只看每个固定点上的数列，一致收敛要求误差在整段区间上被同一个量控制，用上确界范数写出就是 $\parallel f_n-f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\to 0$。定理线索处理极限交换：一致收敛时极限函数连续、积分可以交换次序、在导函数一致收敛时求导也能交换。这条线索的反面例子很重要，实验一用 $x^n$ 与 $nx{e}^{-n{x}^2}$ 两个函数列说明逐点收敛不足以保证任何一条性质。逼近线索把一致收敛当作「用简单函数逼近复杂函数」的工具：Weierstrass 逼近定理说明闭区间上的连续函数可以用多项式一致逼近，Bernstein 多项式给出显式构造，实验二实测它的收敛速率；插值是多项式逼近的另一条路线，等距节点会产生 Runge 现象，Chebyshev 节点则收敛，实验三给出两列对照数据。

5.6.1 函数列的收敛

逐点收敛

设函数列 $\{f_n\}$ 与函数 $f$ 都在集合 $E$ 上有定义。若对每个固定的 $x\in E$，数列 $\{f_n(x)\}$ 收敛到 $f(x)$，称 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上逐点收敛于 $f$：

$$\mathrm{\forall }x\in E,\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N(\epsilon ,x),\mathrm{\forall }n>N,|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$

注意 $N$ 依赖于两个变量：误差要求 $\epsilon$ 与位置 $x$。这个依赖性是一致收敛与逐点收敛的全部差别所在。把定义按集合的量词顺序读一遍，逐点收敛是「先取点、再取 $N$」，不同点上的收敛速度可以完全不同。

例：$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛。$x<1$ 时 $x^n\to 0$（几何数列），$x=1$ 时 $x^n=1\to 1$，因此极限函数是

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le x<1\\ 1,& x=1\end{array}$$

每个 $f_n$ 都连续，极限函数在 $x=1$ 处间断。连续性被逐点收敛破坏了。

例：$g_n(x)=nx{e}^{-n{x}^2}$ 在 $[0,1]$ 上逐点收敛于 $f\equiv 0$。每个固定点上 $n{e}^{-n{x}^2}$ 随指数衰减，乘积趋于零。积分方面

$${\int }_0^1{g}_n(x)dx={[-\frac{1}{2}{e}^{-n{x}^2}]}_0^1=\frac{1}{2}(1-e^{-n})\to \frac{1}{2}$$

而极限函数的积分是 ${\int }_0^{1}0dx=0$。积分与极限不能交换。原因在于 $g_n$ 的峰值随 $n$ 增大（在 $x=\frac{1}{\sqrt{2n}}$ 处取到 $\sqrt{\frac{n}{2e}}$），峰宽同时收窄，面积保持 $\frac{1}{2}$ 左右，逐点收敛只看到每个点最终落到零，看不到这个「移动的尖峰」在累积量上的贡献。

一致收敛

若 $f_n$ 与 $f$ 满足

$$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N(\epsilon ),\mathrm{\forall }n>N,\mathrm{\forall }x\in E,|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$$

称 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上一致收敛于 $f$。量词顺序的改变带来实质差别：$N$ 只依赖于 $\epsilon$，一个 $N$ 对整段区间上的所有点同时有效。

用上确界范数（一致范数）可以把定义写成一句话：

$$\parallel f_n-f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in E}{sup}|f_n(x)-f(x)|\to 0(n\to \mathrm{\infty })$$

上确界范数度量的是两条曲线之间的最大竖直距离，一致收敛就是「最大距离趋于零」。一致收敛蕴含逐点收敛，反之不成立：$x^n$ 在 $[0,1]$ 上的最大距离是 $\underset{[0,1]}{sup}|x^n-f(x)|=1$（在 $x\to 1^{-}$ 处趋近 $1$，$x=1$ 处等于 $0$，上确界仍为 $1$），不趋于零。把区间改成 $[0,0.99]$ 之后最大距离是 ${0.99}^n\to 0$，一致收敛成立。这个例子里「一致」与否取决于区间是否包含端点附近，端点处的收敛速度被端点本身拖慢了。

几何含义：一致收敛等价于对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$ 使得 $n>N$ 时函数 $f_n$ 的图像整体落在 $f$ 图像上下各 $\epsilon$ 宽的「带子」内。逐点收敛对每个 $\epsilon$ 都能找到带子，但带子的宽度依赖 $x$，无法用一条带子一次罩住整段。

逐项检验的一致性：验证一致收敛的常用路径是先求出极限函数，再计算 $sup|f_n-f|$ 并判断它是否趋于零。直接算上确界困难时可以求导找极值点（实验一第二组就是这样处理 $g_n$ 的），或者用下面给的判别工具。

5.6.2 一致收敛与极限交换

一致收敛的价值体现在三条交换性质上。

连续性

设 $\{f_n\}$ 在 $E$ 上一致收敛于 $f$，且每个 $f_n$ 在 $x_0\in E$ 连续，则 $f$ 在 $x_0$ 连续。证明用 $\frac{\epsilon }{3}$ 的分解：

$$|f(x)-f(x_0)|\le |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|$$

由一致收敛，第一项与第三项对充分大的 $n$ 一致地小于 $\frac{\epsilon }{3}$（与 $x$ 无关，这是关键）；固定这个 $n$ 后，由 $f_n$ 在 $x_0$ 连续，第二项在 $x$ 足够接近 $x_0$ 时小于 $\frac{\epsilon }{3}$。三段合起来得 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。逐点收敛时第一项的上界依赖 $x$，无法先固定 $n$ 再讨论 $x$ 的邻域，证明失败，$x^n$ 的例子显示结论确实不成立。

推论：一致收敛的连续函数列，其极限函数连续。这条推论在应用中常反过来用：若极限函数不连续，则收敛不可能是一致的。

积分交换

设 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积且一致收敛于 $f$，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，且

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^b{f}_n(x)dx={\int }_a^b\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx$$

证明的关键是误差的积分估计：

$$|{\int }_a^b{f}_n-{\int }_a^{b}f|\le {\int }_a^b|f_n-f|\le (b-a)\parallel f_n-f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$$

右端趋于零。一致收敛把「函数值差的上界」变成「积分差的上界」，这一步在逐点收敛时没有。实验一的第二组数据说明这个条件是必要的：$g_n$ 逐点收敛到零但积分趋于 $\frac{1}{2}$，$\parallel g_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\sqrt{\frac{n}{2e}}\to \mathrm{\infty }$，一致收敛不成立。

求导交换

求导对一致收敛的要求更强，因为导数放大高频振荡。设 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上可导，$\{f_n\}$ 在某个点 $x_0$ 收敛，且导函数列 $\{f_n^{\prime }\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $g$，则 $\{f_n\}$ 一致收敛于某个可导函数 $f$，且 $f^{\prime }=g$：

$${\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n\right)}^{\prime }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n^{\prime }$$

证明用中值定理把 $f_n-f_m$ 的差表示成 $(f_n^{\prime }-f_m^{\prime })$ 的积分形式，再用 $\{f_n^{\prime }\}$ 的一致收敛给出 Cauchy 估计，最后用 5.4 节的导数定义完成极限交换。注意假设针对的是导函数列，不是函数列本身：$\frac{\sin (nx)}{n}$ 一致收敛到零，导数 $\cos (nx)$ 不一致收敛，求导交换失效。这条结论在含参积分求导、级数求和求导与偏微分方程的解的正则性分析中反复使用。

一个直观的说明

一致收敛控制的是「函数的整体形状」，逐点收敛只控制「每个点的最终值」。求导是对形状的敏感运算：函数值的一致小不能保证导数的一致小（$\frac{\sin (nx)}{n}$ 就是例子），因此求导交换需要把一致收敛的条件加在导数上。积分相反，它对形状的变化不敏感（有平滑作用），因此对函数列本身一致收敛即可。

5.6.3 函数项级数

把函数列换成部分和，就得到函数项级数 $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(x)$。级数在 $E$ 上一致收敛指部分和函数列 $S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k$ 一致收敛。一致收敛的级数继承函数列的三条交换性质：和函数连续、可以逐项积分、在导级数一致收敛时可以逐项求导。

Weierstrass 判别法

若存在收敛的正项级数 $\sum M_k$ 使得

$$|u_k(x)|\le M_k,\mathrm{\forall }x\in E,k=1,2,\dots$$

则 $\sum u_k(x)$ 在 $E$ 上一致收敛（且绝对收敛）。这条判别法称 M 判别法（Weierstrass 判别法）。证明直接用 Cauchy 准则与三角不等式：

$$|\sum _{k=m}^n{u}_k(x)|\le \sum _{k=m}^n|u_k(x)|\le \sum _{k=m}^n{M}_k<\epsilon$$

右端与 $x$ 无关，一致 Cauchy 条件成立。例：$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (kx)}{k^2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛（取 $M_k=\frac{1}{k^2}$），和函数处处连续；由 $\left|\frac{\sin (kx)}{k^2}\right|\le \frac{1}{k^2}$ 得到的一致上界还可以直接用于逐项积分的误差估计。

一般的判别工具

M 判别法要求绝对收敛，条件收敛的情形需要更细的工具。

一致 Cauchy 准则：$\sum u_k$ 在 $E$ 上一致收敛，等价于对任意 $\epsilon >0$ 存在 $N$，使得 $n>m>N$ 时 $|\sum _{k=m+1}^n{u}_k(x)|<\epsilon$ 对所有 $x\in E$ 成立。

Dini 定理：设 $u_k$ 在紧集 $E$ 上连续、$u_k\ge 0$，$\sum u_k(x)$ 在 $E$ 上逐点收敛于连续函数 $S(x)$，则收敛是一致的。这条定理用「逐点收敛 + 单调性 + 极限函数连续」换来了「一致收敛」，在证明 Fourier 级数与概率母函数的结论时常用。

Abel 与 Dirichlet 的一致形式：把数项级数的判别法逐字搬到函数项可以得到 $\sum a_k(x)b_k(x)$ 的一致收敛判据。Dirichlet 形式假设 $\{b_k(x)\}$ 对每个 $x$ 单调且一致趋于零，$a_k$ 的部分和有界（一致界），结论是一致收敛。例：$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k+x}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛，$b_k=\frac{1}{k+x}$ 一致趋于零，$a_k=(-1{)}^k$ 的部分和取值为 $0$ 与 $-1$。

幂级数的一致收敛

幂级数 $\sum a_k{x}^k$ 有收敛半径 $R$。在 $|x|\le r<R$ 的任意闭区间上，由 $\left|a_k{x}^k\right|\le |a_k|r^k$ 与 $\sum |a_k|r^k$ 收敛得 M 判别法的条件成立，幂级数一致收敛。这个「在半径内部的任意紧子集上一致收敛」（内闭一致收敛）是幂级数全部交换性质的来源：和函数在 $(-R,R)$ 内连续、可逐项积分、可逐项求导，求导后半径不变。5.7 节会把这些结论用于 Taylor 级数与正交展开。

5.6.4 逼近定理

一致收敛的一个主要用途是用简单的函数类逼近复杂的函数类。核心结论是 Weierstrass 逼近定理。

Weierstrass 逼近定理：设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，则对任意 $\epsilon >0$ 存在多项式 $P$ 使得

$$\parallel f-P{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\underset{x\in [a,b]}{max}|f(x)-P(x)|<\epsilon$$

也就是说，闭区间上的连续函数可以用多项式一致逼近到任意精度。这条定理的意义在于「连续函数」与「多项式」两类看似相距很远的对象之间架了桥：多项式只有加乘两种运算，容易求值、求导、积分，是计算上的好对象；连续函数是应用中出现的对象。定理说明逼近在精度意义上没有损失，代价是多项式次数随精度要求上升。

Bernstein 构造给出证明。对 $f\in C[0,1]$ 定义

$$B_{n}f(x)=\sum _{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k(1-x{)}^{n-k}$$

右端的权重是二项分布的概率质量函数（参数 $n$ 与 $x$），因此 $B_{n}f(x)$ 是 $f$ 在二项分布下的期望：取 $X\sim \mathrm{Bin}(n,x)$，则 $B_{n}f(x)=E\left[f\left(\frac{X}{n}\right)\right]$。证明一致性用 $f$ 的连续模（5.3 节）与二项分布的方差 $\mathrm{Var}\left(\frac{X}{n}\right)=\frac{x(1-x)}{n}\le \frac{1}{4n}$：由 $f$ 一致连续，$|f\left(\frac{k}{n}\right)-f(x)|$ 在 $|\frac{k}{n}-x|$ 小时小，这个事件之外的尾部概率被方差控制（用 Chebyshev 不等式或 Bernstein 不等式），量级为 $\frac{1}{4n{\epsilon }^2}$，趋于零。结论：$B_{n}f$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛于 $f$，收敛速率由 $f$ 的连续模决定：

$$\parallel B_{n}f-f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\le \frac{3}{2}{\omega }_f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$$

其中 ${\omega }_f$ 是连续模。对 Lipschitz 连续的函数 ${\omega }_f(\delta )\le L\delta$，速率是 $O(n^{-1/2})$；对可导且导数 Lipschitz 的函数，通过 Voronoi 估计可以提高到 $O(n^{-1})$。实验二用 $f(x)=|x-\frac{1}{2}|$ 验证这个速率：它是 Lipschitz 连续的（$L=1$）但在 $\frac{1}{2}$ 处不可导，实测误差乘以 $\sqrt{n}$ 稳定在 $0.3988$，与 $O(n^{-1/2})$ 一致。

Stone-Weierstrass 定理把结论抽象化：紧集 $K$ 上的连续函数代数（对加法、乘法、数乘封闭的函数族）若分离点（任意两个不同点处有函数取不同值）且包含常数，则在一致范数下稠密于 $C(K)$。多项式代数在闭区间上满足这些条件，三角多项式代数在圆周上满足，由此得到两个常用的逼近类。这条定理在泛函分析中是很多结论的出发点，也是核方法（用核函数构造的函数族逼近连续函数）与神经网络逼近能力的理论源头。

5.6.5 插值、Runge 现象与最佳逼近

多项式逼近有两条路线。第一条是 Weierstrass 型的整体逼近：让多项式的系数尽可能好地拟合函数，误差在整段上被控制。第二条是插值：要求多项式在给定节点上与函数取值相同，误差由插值余项控制。

插值余项

给定 $[a,b]$ 上 $n+1$ 个互异节点 $x_0,\dots ,x_n$ 与函数值 $f(x_i)$，存在唯一的次数不超过 $n$ 的多项式 $P_n$ 满足 $P_n(x_i)=f(x_i)$（Lagrange 插值多项式）。若 $f$ 有 $n+1$ 阶导数，误差有显式形式：

$$f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\prod _{i=0}^n(x-x_i),\xi \in (a,b)$$

误差由两个因子的乘积决定：导数项 $\frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!}$ 与节点多项式 $\omega (x)=\prod (x-x_i)$。节点固定时导数项无法控制（高阶导数可能快速增长），实际能优化的是 $max|\omega (x)|$，也就是节点的分布。

Runge 现象

等距节点是最自然的选法，但它有一个著名的缺陷。取 $f(x)=\frac{1}{1+25x^2}$（Runge 函数）与 $[-1,1]$ 上的等距节点，实验三显示最大误差随节点数增大：$n=4$ 时 $4.38\times {10}^{-1}$，$n=10$ 时 $1.92$，$n=16$ 时 $1.44\times {10}^1$，误差在端点附近剧烈振荡并放大，中间部分却拟合得很好。原因是 $max|\omega (x)|$ 对等距节点随 $n$ 快速增长：Canterbury 界给出 $\underset{[-1,1]}{max}|\omega |\ge \frac{n!}{2(2n+1)}$ 量级的估计，端点附近的 $\omega$ 值远大于中心。

Chebyshev 节点

节点的最优分布是 Chebyshev 零点：

$$x_i=\cos \frac{(2i+1)\pi }{2n+2},i=0,1,\dots ,n$$

（在 $[-1,1]$ 上的另一种常用取法是极值点 $\cos \frac{i\pi }{n}$，实验三用后者。）这套节点的分布特点是端点附近密、中心稀疏，与等距节点的分布恰好相反。对应的节点多项式满足

$$\underset{[-1,1]}{max}|\prod _{i=0}^n(x-x_i)|=\frac{1}{2^n}$$

这个值对 $n$ 以指数速度下降，是全体验节点分布中的最小值（Chebyshev 定理）。代入误差公式，插值误差的量级约 $\frac{max|f^{(n+1)}|}{2^n(n+1)!}$，只要函数在 $[-1,1]$ 附近解析，误差以几何速度下降。实验三的对照数据：Chebyshev 节点下 $n=6$ 的误差是 $3.11\times {10}^{-1}$，$n=16$ 降到 $3.67\times {10}^{-2}$，相邻节点数之间的比值稳定在 $0.64$ 附近，是典型的几何收敛；等距节点的误差则单调上升，两者在 $n=16$ 处相差约 $400$ 倍。

最佳一致逼近

插值要求多项式在节点上精确取值，这未必是最优策略。最佳一致逼近问的是：在所有次数不超过 $n$ 的多项式中，哪一个使 $\parallel f-P{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ 最小。答案由 Chebyshev 交错定理刻画：$P^{\ast }$ 是最佳逼近，当且仅当误差函数 $f-P^{\ast }$ 在 $[a,b]$ 上有至少 $n+2$ 个交错点（误差依次达到 $+\parallel f-P^{\ast }{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ 与 $-\parallel f-P^{\ast }{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$）。这一定理把「最小最大」的优化问题化为「等幅振荡」的形状条件，是 Remez 交换算法的基础，也是 3.9 节中「极大极小问题」在逼近论中的对应物。

三种逼近的比较：Taylor 展开在展开点附近精度极高但端点处差（误差不被整体控制）；插值在节点上精确，误差由节点分布决定；最佳一致逼近把最大误差压到最小，代价是要迭代计算交错点。数值计算中三者的选择依赖需求：需要局部高精度用 Taylor，需要整段可控且函数光滑用 Chebyshev 插值，需要最小化最大偏差（例如硬件上的函数实现、查表压缩）用 Remez 算法。

5.6.6 Arzelà-Ascoli 定理

一致收敛讨论的是「一个函数列收敛到哪里」。紧性讨论的是「一个函数列是否总能挑出收敛的子列」，后者在存在性证明中是不可替代的工具。

设 $\mathcal{F}$ 是 $C[a,b]$ 中的函数族。若存在常数 $M$ 使 $|f(x)|\le M$ 对所有 $f\in \mathcal{F}$、$x\in [a,b]$ 成立，称 $\mathcal{F}$ 一致有界（逐点有界还不够）。若对任意 $\epsilon >0$ 存在 $\delta >0$（只依赖 $\epsilon$，不依赖 $f$ 与 $x$），使得 $|x-y|<\delta$ 时 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ 对所有 $f\in \mathcal{F}$ 成立，称 $\mathcal{F}$ 等度连续。等度连续就是上一致收敛版本的一致连续：同一组 $\delta$ 对整个函数族有效。

Arzelà-Ascoli 定理：$C[a,b]$ 中一致有界且等度连续的函数族是相对紧的，即任意函数列都含有一致收敛的子列。

证明的思路分两步。第一条线索是用对角线法抽出逐点收敛的子列：$[a,b]$ 上的有理点可数，按有理点逐个抽子列（每个点上的数值有界，Bolzano-Weierstrass 定理保证有收敛子列），对角线子列在每个有理点上收敛。第二条线索是用等度连续性把逐点收敛提升为一致收敛：对给定的 $\epsilon$，用有限个有理点（或 $\delta$ 网）覆盖 $[a,b]$，在这些点上收敛后，由等度连续性把收敛性推广到全区间。两条线索合起来给出子列的一致收敛。

应用：Arzelà-Ascoli 是常微分方程解的存在性（Peano 定理，用 Euler 折线构造近似解并抽取收敛子列）、变分法直接方法（找极小化序列的收敛子列，5.11 节）、偏微分方程紧性方法（先验估计 + 抽子列）的共同基础。它也是「有界 + 等度连续 = 紧」这个模式的来源，在泛函分析与数值分析中反复出现。

与紧性的对照

有限维空间的紧性由 Heine-Borel 定理刻画（有界闭集即紧）。无限维的函数空间没有这么简单的判别：仅有一致有界不足以保证紧（$\sin (nx)$ 一族有界但任意子列都不一致收敛），必须补上等度连续这个条件。这条差别是泛函分析与有限维线性代数的分水岭，也是数值方法里「网格加密不一定收敛」现象的根源：离散解族通常一致有界，等度连续性需要额外的稳定性估计。

5.6.7 数值实验

实验一：逐点收敛与一致收敛

两组函数列分别对应「逐点收敛但不一致收敛」的两种典型形态。第一组的极限函数间断，第二组的极限函数连续但积分不交换。

import math
import numpy as np

xs = np.linspace(0.0, 1.0, 200001)
xs2 = np.linspace(0.0, 0.99, 100001)

print("(a) f_n(x) = x^n")
print(f"{'n':>6} {'max on [0,1]':>14} {'max on [0,0.99]':>16} {'int_0^1 f_n':>13}")
for n in [10, 100, 1000, 10000]:
    m1 = float(np.max(xs ** n))
    m2 = float(np.max(xs2 ** n))
    print(f"{n:>6} {m1:>14.6f} {m2:>16.6f} {1.0 / (n + 1):>13.8f}")

print("(b) g_n(x) = n x exp(-n x^2)")
print(f"{'n':>6} {'max g_n':>14} {' sup 理论值':>14} {'int_0^1 g_n':>13} {'极限 1/2':>10}")
dx = 1.0 / 200000
for n in [10, 100, 1000, 10000]:
    gn = n * xs * np.exp(-n * xs ** 2)
    print(f"{n:>6} {float(np.max(gn)):>14.4f} {math.sqrt(n / (2 * math.e)):>14.4f} "
          f"{float(np.sum(gn) * dx):>13.8f} {0.5:>10.4f}")

输出：

(a) f_n(x) = x^n
     n   max on [0,1]  max on [0,0.99]   int_0^1 f_n
    10       1.000000         0.904382    0.09090909
   100       1.000000         0.366032    0.00990099
  1000       1.000000         0.000043    0.00099900
 10000       1.000000         0.000000    0.00009999
(b) g_n(x) = n x exp(-n x^2)
     n        max g_n        sup 理论值   int_0^1 g_n     极限 1/2
    10         1.3562         1.3562    0.49997730     0.5000
   100         4.2888         4.2888    0.50000000     0.5000
  1000        13.5624        13.5624    0.50000000     0.5000
 10000        42.8882        42.8882    0.49999998     0.5000

第一组数据把一致收敛的判据读得很清楚。第一列 $\underset{[0,1]}{max}{x}^n$ 恒为 $1$（$x=1$ 处 $1^n=1$），与 $n$ 无关，一致收敛不成立；第二列 $\underset{[0,0.99]}{max}{x}^n={0.99}^n$ 按 $0.904382\to 0.366032\to 0.000043\to 0$ 下降（$n=10000$ 时 ${0.99}^{10000}=e^{-100.5}\approx 3.7\times {10}^{-44}$，在双精度下下溢为 $0$），一致收敛成立。同一个函数列在不同区间上的结论相反，差别只在端点：$x=1$ 处函数值恒为 $1$，把整段的上确界锁住。第三列积分 $\frac{1}{n+1}$ 趋于零，与「极限函数在 $[0,1)$ 上为零、单点的值不影响积分」相符；但积分与极限的交换在这里成立是因为积分值本身趋于零，不是因为收敛一致。

第二组数据是「逐点收敛但积分不交换」的标准形态。最大值的实测值与理论值 $\sqrt{\frac{n}{2e}}$ 逐位相符（$n=10$ 时 $\sqrt{10/5.4366}=1.3562$，$n=10000$ 时 $\sqrt{10000/5.4366}=42.888$），峰值随 $n$ 以 $\sqrt{n}$ 的速率增长，位置 $x=\frac{1}{\sqrt{2n}}$ 向零点移动。积分列 $0.49997730\to 0.50000000\to 0.50000000\to 0.49999998$ 是 $\frac{1}{2}(1-e^{-n})$，趋于 $\frac{1}{2}$，与极限函数的积分 $0$ 不符。两条数据放在一起给出判断依据：一致收敛要求 $\parallel f_n-f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\to 0$，这里 $\parallel g_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\to \mathrm{\infty }$，条件以最强烈的方式被违反。

实验二：Bernstein 多项式逼近

用 Bernstein 多项式逼近 $f(x)=|x-\frac{1}{2}|$，观察误差随次数的下降，并用「误差乘以 $\sqrt{n}$」检验速率。

import math
import numpy as np
from scipy.stats import binom

xg = np.linspace(0.0, 1.0, 401)
print(f"{'n':>6} {'最大误差':>13} {'误差 * sqrt(n)':>16}")
for n in [4, 16, 64, 256, 1024]:
    ks = np.arange(n + 1)
    errs = []
    for x in xg:
        w = binom.pmf(ks, n, x)
        val = float(np.sum(w * np.abs(ks / n - 0.5)))
        errs.append(abs(val - abs(x - 0.5)))
    e = max(errs)
    print(f"{n:>6} {e:>13.4e} {e * math.sqrt(n):>16.4f}")

输出：

     n          最大误差     误差 * sqrt(n)
     4    1.8750e-01           0.3750
    16    9.8190e-02           0.3928
    64    4.9673e-02           0.3974
   256    2.4910e-02           0.3986
  1024    1.2464e-02           0.3988

误差单调下降，从 $n=4$ 的 $1.88\times {10}^{-1}$ 降到 $n=1024$ 的 $1.25\times {10}^{-2}$，但下降得很慢：次数增加 $256$ 倍（从 $4$ 到 $1024$），误差只降到原来的 $\frac{1}{15}$。第三列给出了速率的答案：「误差 $\times \sqrt{n}$」稳定在 $0.3988$ 附近，说明误差按 $\frac{0.4}{\sqrt{n}}$ 衰减，即 $O(n^{-1/2})$。这个数值有理论解释：逼近误差的最大值出现在 $x=\frac{1}{2}$ 处，那里

$$B_{n}f\left(\frac{1}{2}\right)=E|\frac{X}{n}-\frac{1}{2}|,X\sim \mathrm{Bin}(n,\frac{1}{2})$$

由中心极限定理，$\frac{X-n/2}{\sqrt{n}/2}$ 近似标准正态，$E|X-\frac{n}{2}|\approx \frac{\sqrt{n}}{2}\sqrt{\frac{2}{\pi }}$，除以 $n$ 得 $\sqrt{\frac{1}{2\pi n}}\approx \frac{0.3989}{\sqrt{n}}$，与实测的 $0.3988$ 一致。

这组数据说明两件事。一是收敛速率由函数的光滑程度决定：$f$ 在 $\frac{1}{2}$ 处有拐角（不可导），速率为 $O(n^{-1/2})$；若 $f$ 处处可导且导数 Lipschitz，速率提高到 $O(n^{-1})$；若 $f$ 有 $k$ 阶连续导数，速率为 $O(n^{-k/2})$ 量级。二是 Bernstein 多项式的实际效率不高：达到 ${10}^{-6}$ 的精度需要 $n$ 约 ${\left(\frac{0.4}{{10}^{-6}}\right)}^2=1.6\times {10}^{11}$ 次，远不如 Chebyshev 插值或最佳逼近。它的价值在于构造的显式性与证明的简洁性，以及概率论解释带来的直观。

实验三：插值逼近与 Runge 现象

比较等距节点与 Chebyshev 节点上的插值误差。插值多项式用重心公式（barycentric formula）计算：给定节点 $x_i$ 与权重 $w_i=\frac{1}{\prod _{j\ne i}(x_i-x_j)}$，

$$P(x)=\frac{\sum _i\frac{w_i}{x-x_i}f(x_i)}{\sum _i\frac{w_i}{x-x_i}}$$

这个形式的数值稳定性远好于直接解线性方程组，且计算量是 $O(n)$。

import math
import numpy as np

def runge(x):
    return 1.0 / (1.0 + 25.0 * x * x)

def barycentric(nodes, xs):
    n = len(nodes)
    w = np.ones(n)
    for i in range(n):
        w[i] = 1.0 / float(np.prod([nodes[i] - nodes[j] for j in range(n) if j != i]))
    num = np.zeros_like(xs)
    den = np.zeros_like(xs)
    for i in range(n):
        t = w[i] / (xs - nodes[i])
        num += t * runge(nodes[i])
        den += t
    return num / den

xg = np.linspace(-0.999, 0.999, 1999)
print(f"{'n':>5} {'等距节点最大误差':>18} {'Chebyshev 节点最大误差':>22}")
for n in [4, 6, 8, 10, 12, 14, 16]:
    eq_nodes = np.linspace(-1.0, 1.0, n + 1)
    ch_nodes = -np.cos(np.arange(n + 1) * math.pi / n)
    ee = float(np.nanmax(np.abs(barycentric(eq_nodes, xg) - runge(xg))))
    ec = float(np.nanmax(np.abs(barycentric(ch_nodes, xg) - runge(xg))))
    print(f"{n:>5} {ee:>18.4e} {ec:>22.4e}")

输出：

    n           等距节点最大误差       Chebyshev 节点最大误差
    4         4.3836e-01             4.5998e-01
    6         6.1695e-01             3.1119e-01
    8         1.0452e+00             2.0468e-01
   10         1.9156e+00             1.3220e-01
   12         3.6633e+00             8.4396e-02
   14         7.1949e+00             5.3508e-02
   16         1.4394e+01             3.6713e-02

两列数据的走向完全相反。等距节点一列从 $4.38\times {10}^{-1}$ 上升到 $1.44\times {10}^1$，节点数每增加 $2$ 误差大约翻一倍，Runge 现象在数据上表现为「加密节点反而更差」。误差的位置在端点附近：$[-1,1]$ 上的等距插值在 $|x|$ 接近 $1$ 处出现幅度越来越大的振荡，中心区域的误差始终很小（$n=16$ 时中心部分的误差在 ${10}^{-3}$ 以下），而最大误差由端点附近的振荡决定。

Chebyshev 节点一列单调下降，从 $n=6$ 的 $3.11\times {10}^{-1}$ 降到 $n=16$ 的 $3.67\times {10}^{-2}$，相邻项的比值是 $\frac{0.20468}{0.31119}=0.658$、$\frac{0.13220}{0.20468}=0.646$、$\frac{0.084396}{0.13220}=0.638$、$\frac{0.053508}{0.084396}=0.634$、$\frac{0.036713}{0.053508}=0.686$，稳定在 $0.64$ 附近，是几何收敛。$n=4$ 时两者接近（$4.38$ 与 $4.60$，此时 Chebyshev 略差），因为次数太低时端点加密带来的收益还没有超过与函数形状的差异。$n=16$ 时两列相差约 $\frac{14.4}{0.0367}\approx 392$ 倍，且差距随 $n$ 继续扩大。

Runge 函数的局部性值得说明：$f(x)=\frac{1}{1+25x^2}$ 在复平面上有极点 $x=\pm \frac{i}{5}$，距实轴 $0.2$。Chebyshev 插值的收敛速率由极点到 $[-1,1]$ 的 Bernstein 椭圆参数决定：

$$\rho =|z+\sqrt{z^2-1}|{|}_{z=0.2i}=|0.2i+1.0198i|=1.2198$$

误差按 ${\rho }^{-n}$ 衰减。表中相邻两行的次数相差 $2$，理论比值是 ${\rho }^{-2}=0.672$，实测比值在 $0.634$ 到 $0.686$ 之间，两者相符。等距插值的收敛条件要求函数在一条以区间为底的窄带内解析，$0.2$ 的距离不够（等距插值需要带状区域的宽度趋于零时仍有解析性），所以发散。这条对照说明「插值是否收敛」归根到底由函数的解析性与节点的分布共同决定，两个因素都可以事先检查。

5.6.8 本节小结

函数列收敛的三层内容

本节把函数列的收敛组织为三层。定义层给出两种收敛：逐点收敛的 $N$ 依赖 $\epsilon$ 与 $x$，一致收敛的 $N$ 只依赖 $\epsilon$，等价形式是 $\parallel f_n-f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\to 0$；一致收敛蕴含逐点收敛，反之不成立，两个标准反例是 $x^n$（极限函数间断，实验一第一组：$\underset{[0,1]}{max}=1$ 恒成立，$\underset{[0,0.99]}{max}={0.99}^n\to 0$）与 $nx{e}^{-n{x}^2}$（积分不交换，实验一第二组：$\parallel g_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\sqrt{n/(2e)}$ 增长到 $42.888$，积分恒为 $\frac{1}{2}$，极限函数的积分为零）。定理层是三条交换性质：一致收敛时极限函数连续（$\frac{\epsilon }{3}$ 分解），积分可以交换（$|\int f_n-\int f|\le (b-a)\parallel f_n-f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$），求导交换需要导函数列一致收敛。判别工具是 M 判别法（$|u_k|\le M_k$ 且 $\sum M_k$ 收敛）、一致 Cauchy 准则、Dini 定理与 Abel-Dirichlet 的一致形式；幂级数在半径内部任意闭子区间上一致收敛，这保证了它的逐项积分与逐项求导。逼近层给出三条路线：Weierstrass 逼近定理（连续函数可用多项式一致逼近）与 Bernstein 构造（误差 $\le \frac{3}{2}{\omega }_f(n^{-1/2})$，实验二实测「误差 $\times \sqrt{n}$」稳定在 $0.3988$，对应 $O(n^{-1/2})$，速率由光滑性决定）；插值的误差公式 $\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\omega (x)$ 把误差分成导数项与节点项，等距节点的节点项随 $n$ 快速增长导致 Runge 现象（实验三：$n$ 从 $4$ 到 $16$，误差从 $4.38\times {10}^{-1}$ 升到 $1.44\times {10}^1$），Chebyshev 节点的 $max|\omega |=2^{-n}$ 给出几何收敛（同区间内误差从 $4.60\times {10}^{-1}$ 降到 $3.67\times {10}^{-2}$，比值稳定在 $0.64$）；最佳一致逼近由 Chebyshev 交错定理刻画，是 Remez 算法的依据。Arzelà-Ascoli 定理（一致有界 + 等度连续蕴含相对紧）提供了「从函数列中抽取一致收敛子列」的工具，是微分方程与变分法存在性证明的基础。

函数列的收敛与逼近处理的是「用简单函数逼近复杂函数」，下一节把注意力转向一类特殊的函数项级数：幂级数与 Fourier 级数。前者是 Taylor 展开的严格版本，后者把函数按三角函数系展开，两者都属于正交展开，共同的框架是内积空间与基底。

练习题

第 1 题 概念推导

(a) 证明：若连续函数列 $\{f_n\}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛于 $f$，则 $f$ 连续（写出 $\frac{\epsilon }{3}$ 分解的完整论证）。(b) 用一致收敛的定义直接证明 $f_n(x)=\frac{x}{1+n{x}^2}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛于零，并指出其最大值的位置与数值。(c) 说明为什么「$\{f_n\}$ 一致收敛」不能推出「$\{f_n^{\prime }\}$ 一致收敛」。

参考答案

(a) 取 $x_0\in [a,b]$ 与任意 $\epsilon >0$。由一致收敛，存在 $N$ 使得 $n>N$ 时 $\parallel f_n-f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}<\frac{\epsilon }{3}$。固定一个这样的 $n$，由 $f_n$ 在 $x_0$ 连续，存在 $\delta >0$ 使得 $|x-x_0|<\delta$（且 $x\in [a,b]$）时 $|f_n(x)-f_n(x_0)|<\frac{\epsilon }{3}$。对这样的 $x$，

$$|f(x)-f(x_0)|\le |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|<\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}+\frac{\epsilon }{3}=\epsilon$$

前一项与后一项的上界与 $x$ 无关，这是先固定 $n$ 的合法性所在；逐点收敛时这个上界依赖 $x$，无法在讨论 $x$ 的邻域之前固定 $n$。

(b) $f_n$ 是奇函数，考察 $x>0$。求导：$f_n^{\prime }(x)=\frac{1-n{x}^2}{(1+n{x}^2{)}^2}$，零点在 $x=\frac{1}{\sqrt{n}}$，此处的值为

$$f_n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\frac{1/\sqrt{n}}{1+1}=\frac{1}{2\sqrt{n}}$$

因此 $\parallel f_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{2\sqrt{n}}\to 0$，一致收敛成立（$N=\frac{1}{4{\epsilon }^2}$ 即可，与 $x$ 无关）。注意峰值同样随 $n$ 移动并收窄，但幅度按 $n^{-1/2}$ 趋于零，而实验一的 $nx{e}^{-n{x}^2}$ 幅度按 $n^{1/2}$ 增长，两者只差指数因子的写法，收敛性质截然不同。

(c) 一致收敛只控制函数值，不控制振荡。反例：$f_n(x)=\frac{\sin (nx)}{n}$，$\parallel f_n{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\le \frac{1}{n}\to 0$ 一致收敛到零；导函数 $f_n^{\prime }(x)=\cos (nx)$，$\parallel f_n^{\prime }{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=1$ 对任何 $n$ 都成立，且 $\cos (nx)$ 在 $[0,2\pi ]$ 上不逐点收敛（$n$ 取不同值时在 $[-1,1]$ 内往复）。求导交换的正确条件加在导函数列上：只要 $\{f_n^{\prime }\}$ 一致收敛，交换就成立（5.6.2 节的定理）。这个反例也解释了为什么数值求导对数据中的噪声敏感：噪声的幅度小但频率高，函数值上的小误差对应导数上的大误差。

第 2 题 计算推理

(a) 判断 $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (kx)}{k^2+1}$ 在 $\mathbb{R}$ 上是否一致收敛，并说明理由。(b) 用 Runge 函数 $f(x)=\frac{1}{1+25x^2}$ 在 $[-1,1]$ 上的 $n+1$ 个等距节点插值，写出误差公式并说明为什么 $n$ 增大时误差可能增大。(c) 估计 Bernstein 多项式逼近 $f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上达到 ${10}^{-3}$ 精度所需的次数。

参考答案

(a) 一致收敛。取 $M_k=\frac{1}{k^2+1}$，$\left|\frac{\cos (kx)}{k^2+1}\right|\le \frac{1}{k^2+1}$ 对一切 $x$ 成立，而 $\sum _{k\ge 1}\frac{1}{k^2+1}\le \sum _{k\ge 1}\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ 收敛，由 M 判别法得一致收敛。和函数在 $\mathbb{R}$ 上连续且绝对收敛，逐项积分与逐项求导在导级数一致收敛时成立。注意分母用 $k^2+1$ 而不是 $k$：若换成 $\sum \frac{\cos (kx)}{k}$，M 判别法失效（$\sum \frac{1}{k}$ 发散），这时需要用 Dirichlet 的一致形式判断（$\frac{1}{k}$ 单调趋于零，$\cos (kx)$ 的部分和一致有界），结论是完全收敛但不绝对收敛，且在含 $x=0$ 的区间上不一致收敛（$x=0$ 处是调和级数）。

(b) 误差公式

$$f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\omega (x),\omega (x)=\prod _{i=0}^n(x-x_i)$$

等距节点 $x_i=-1+\frac{2i}{n}$。Runge 函数的高阶导数随 $n$ 快速增长：它在 $\pm \frac{i}{5}$ 处有极点，在 $[-1,1]$ 上的解析性很差，$f^{(n+1)}$ 的最大值按 $\sim n!5^{n+1}$ 增长（极点距离决定指数因子），与分母 $(n+1)!$ 相除后仍按 $5^{n+1}$ 增长。节点项 $max|\omega |$ 对等距节点也按 $\frac{n!}{2(2n+1)}$ 量级增长。两项相乘，误差随 $n$ 增长，这就是实验三的观测。若把节点换成 Chebyshev 节点，节点项改为 $2^{-n}$ 指数下降，与导数项中的指数因子相抵，误差按 ${\rho }^{-n}$ 收敛。

(c) $\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上连续（一致连续，因为闭区间上连续），但导数 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 在零点无界，连续模满足 ${\omega }_f(\delta )\le \sqrt{\delta }$（取 $x=0$、$y=\delta$ 时 $\sqrt{\delta }-0=\sqrt{\delta }$ 达到量级）。由误差界 $\parallel B_{n}f-f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\le \frac{3}{2}{\omega }_f(n^{-1/2})\le \frac{3}{2}{n}^{-1/4}$，要求 $\frac{3}{2}{n}^{-1/4}\le {10}^{-3}$，得 $n\ge (1.5\times {10}^3{)}^4\approx 5\times {10}^{12}$。这个天文数字说明 Bernstein 多项式对含端点奇性的函数效率极低，实际计算应当用别的路线（变量替换 $x=t^2$ 去掉奇性后再逼近，或者改用 Chebyshev 加权逼近）。结论：连续模给出的速率估计是上界，原则上不可改进（$B_{n}f$ 对 $\sqrt{x}$ 的实际误差确实按 $n^{-1/2}$ 量级衰减，因为 Chebyshev 型的不等式在这个问题上接近最优）。

第 3 题 代码验证

用本节代码做三组实验并解释：(a) 在实验一里把 $x^n$ 换成 ${\sin }^{n}x$，检查在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的一致收敛性；(b) 在实验三里把 Runge 函数换成 $f(x)=e^x$，比较两种节点的误差并说明差别消失的原因；(c) 在实验三里把 Chebyshev 节点的取法从极值点改成零点 $-\cos \frac{(2i+1)\pi }{2n+2}$，比较两种取法的误差。

参考答案

(a) ${\sin }^{n}x$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上逐点收敛于 $f(x)=0$（$x<\frac{\pi }{2}$ 时 $\sin x<1$）且 $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1^n=1$。在闭区间 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上 $max{\sin }^{n}x=1$（端点取得），一致收敛不成立，与 $x^n$ 的情形相同。在 $[0,\frac{\pi }{2}-\delta ]$ 上最大值为 ${\sin }^n(\frac{\pi }{2}-\delta )={\cos }^n\delta \to 0$，一致收敛成立。这说明一致收敛的判断依赖区间：只要把端点排除在外，结论就翻转。${\sin }^n$ 与 $x^n$ 的共同点是函数在端点处取到恒为 $1$ 的值。

(b) $e^x$ 在 $[-1,1]$ 上解析且在整个复平面解析，两种节点的误差都随 $n$ 以几何速度下降，差别很小。原因：阶的误差公式里 $f^{(n+1)}=e^{\xi }$ 在 $[-1,1]$ 上不超过 $e$，不随 $n$ 增长，误差完全由节点项 $max|\omega |$ 决定，而两种节点项都随 $n$ 下降。差别体现在常数因子上：Chebyshev 节点的 $max|\omega |=2^{-n}$ 是最优值，等距节点的 $max|\omega |$ 要大一些（量级 $\frac{n!}{2(2n+1)}\cdot \frac{1}{(n+1)!}$ 乘上区间长度因子），但不随 $n$ 增长，因此不会出现 Runge 现象。Runge 现象的本质是「函数解析性差 + 节点项增长」的乘积效应，函数解析性好时后一个条件不构成问题。

(c) 极值点取法 $x_i=-\cos \frac{i\pi }{n}$（$i=0,\dots ,n$）与零点取法 $x_i=-\cos \frac{(2i+1)\pi }{2n+2}$（$i=0,\dots ,n$）都基于余弦分布，误差量级相同，差别在常数因子。零点取法在区间内部没有重复的端点，插值多项式的次数分配更均匀，对于 $n$ 相同的比较，零点取法的最大误差通常略小（相差一个不超过 $2$ 的因子）；极值点取法的优势是包含两个端点，适合需要端点处的信息或与 Chebyshev 展开的系数直接对应的场合。实际实现（例如 numpy.polynomial.chebyshev 的内部节点生成）常用极值点，因为节点的递推关系更简洁。

第 4 题 综合应用

某数值程序需要用多项式在 $[-1,1]$ 上逼近一个由实验测量得到的函数（只能逐点求值，无法求导，数据带有 ${10}^{-6}$ 量级的随机噪声，共可获得 $200$ 个采样点，要求逼近误差在 ${10}^{-5}$ 以下）。请比较三种方案并给出推荐：等距节点的高次插值、Chebyshev 节点插值、最小二乘拟合。

参考答案

方案一：等距节点高次插值。$200$ 个等距节点对应 $n=199$ 次多项式。两个问题。第一是 Runge 现象：若函数在区间端点附近的解析性不好（测量数据通常如此），等距插值在端点附近的振荡幅度可能达到 ${10}^0$ 以上，远超要求，且随节点数增加而恶化。第二是噪声放大：插值要求多项式精确通过每个数据点，${10}^{-6}$ 的噪声被完整地引入多项式系数，高次插值的条件数很大（等距节点的 Vandermonde 矩阵条件数随 $n$ 指数增长），噪声的放大倍数可能达到 ${10}^6$ 以上。这一方案不可行。

方案二：Chebyshev 节点插值。节点分布改为 Chebyshev 点，误差的节点项 $max|\omega |=2^{-n}$，Runge 现象被消除，插值的稳定性由重心公式保证。这一方案与方案一相比解决了振荡问题，但仍然要求插值多项式精确经过每个测量点，${10}^{-6}$ 的噪声同样被完整吸收。若函数本身光滑，插值误差可以低于 ${10}^{-6}$，但噪声引起的误差与 ${10}^{-6}$ 同量级，与要求的 ${10}^{-5}$ 之间余量很小。此外测量点通常不落在 Chebyshev 节点上，需要先重采样或做变量替换。

方案三：最小二乘拟合。在 Chebyshev 基（或一般的正交多项式基）下用 $200$ 个数据点拟合 $m$ 个系数（$m$ 远小于 $200$，例如 $m=10$ 到 $20$）。两个优点。一是噪声的平均效果：最小二乘把 $200$ 个点上的噪声平均掉，系数误差的量级约 $\frac{\sigma }{\sqrt{200}}\approx 7\times {10}^{-8}$，比方案二低一个数量级以上。二是条件数好：正交基下的最小二乘问题条件数接近 $1$，不需要正则化。代价是引入截断误差（拟合的多项式次数低于数据的自由度），对光滑函数这个误差随 $m$ 指数下降。$m=15$ 时截断误差通常在 ${10}^{-8}$ 以下，总误差由噪声项主导，约 ${10}^{-7}$，满足要求。

推荐：方案三。选择依据是数据条件的两个特征：噪声存在（插值类方案会把噪声完整带入，拟合方案可以平均）与函数只能逐点求值（不需要解析导数，正交基的构造只需要数值积分或采样）。实现步骤是先用 Chebyshev 节点做变量替换把区间标准化，在 Chebyshev 基下构造法方程（或直接用 QR 分解避免法方程的条件数平方），取 $m=15$ 左右，用交叉验证或残差曲线选择 $m$（残差降到噪声量级后再增加 $m$ 只会引入振荡，这条经验与 3.9 节中「模型复杂度的选择」是同一个问题）。这条题目的方法论可以概括为：逼近的精度上限由数据的噪声水平决定，选方案时把噪声的传递方式（放大、平均、截断）作为第一判据，把收敛速率作为第二判据。

常见错误

错误 1 · 用逐点收敛的结论做需要一致收敛的运算

原因：逐点收敛只保证每个点上的数值收敛，不保证极限运算与求导、积分、取上确界交换。实验一第二组的 $nx{e}^{-n{x}^2}$ 是标准反例：逐点收敛到零，但积分恒为 $\frac{1}{2}$，若用「积分与极限交换」得到 ${\int }_0^{1}0dx=0$ 就错了。另一类错误是看到 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x_n)$ 这类「点的位置也在变」的表达式时直接代入极限函数（例如 $f_n(x)=x^n$、$x_n=1-\frac{1}{n}$ 时 $f_n(x_n)\to e^{-1}$ 而极限函数在 $x=1$ 处取值 $1$），一致收敛可以排除这种情形。

解决：使用交换性质前先验证一致收敛。验证路径是先求极限函数，再计算 $\parallel f_n-f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ 是否趋于零；直接算上确界时可以求导找极值点（实验一第二组就是这样得到 $\sqrt{n/(2e)}$ 的），或者用 M 判别法、Dini 定理等工具。若一致收敛不成立，所有交换性质都需要单独证明或放弃。

错误 2 · 把连续模给出的上界当作实际收敛速率

原因：Weierstrass 逼近定理的误差界 $\frac{3}{2}{\omega }_f(n^{-1/2})$ 是上界，不是速率的下界，也不是精确值。对 Lipschitz 连续的 $f$，这个界给出 $O(n^{-1/2})$，但实验二对 $f(x)=|x-\frac{1}{2}|$ 的实测速率恰好是 $O(n^{-1/2})$（这正是练习 2(c) 中 $\sqrt{x}$ 的情形），两者吻合；对可导且导数 Lipschitz 的函数，实际速率提高到 $O(n^{-1})$，连续模的上界仍然给出 $O(n^{-1/2})$，偏保守。把上界当作精确速率会低估光滑函数的逼近效率。

解决：区分「上界」与「实际阶」。使用估计时标明它是上界；需要精确速率时查该函数类的专门结论（可导性、导数的 Lipschitz 常数、解析性各有对应的阶），或者用数值实验测定（本节实验二的第三列就是测定速率的做法：把误差乘以 $n^{1/2}$ 看是否趋于常数）。报告中区分「理论上界」与「实测速率」，避免用保守上界否决可行的方案。

错误 3 · 加密插值节点以提高精度

原因：插值误差由导数项与节点项两部分组成，等距节点下节点项随 $n$ 增长，导数项对解析性差的函数也增长，两者相乘使误差随 $n$ 增大。实验三的第一列数据直接给出反例：Runge 函数在等距节点上的最大误差从 $n=4$ 的 $4.38\times {10}^{-1}$ 升到 $n=16$ 的 $1.44\times {10}^1$，节点增加 $5$ 倍误差增加 $33$ 倍。若在高次插值后看到端点附近的大幅振荡，把节点加密只会让振荡更剧烈。

解决：先检查节点的分布与函数的解析性。等距节点只适合低次插值（$n$ 不超过约 $10$ 到 $15$）或在区间很短、函数很光滑的场合；一般情形换用 Chebyshev 节点。对含端点奇性的函数（$\sqrt{x}$、$\ln x$、$x^{\alpha }$）先做变量替换去掉奇性，或者改用加权逼近。若目的是从含噪数据构造近似函数，改用最小二乘拟合而非插值（练习 4 的方案三）。

错误 4 · 把上确界范数与逐点最大值混为一谈

原因：$\parallel f{\parallel }_{\mathrm{\infty }}=sup|f|$ 与 $max|f|$ 在有界闭区间上相等，但在开区间或无穷区间上可能不同（上确界可能取不到）。判断一致收敛时若只在一个点或一段网格上检查误差，会把「区间端点附近的坏行为」漏掉：实验一中 $\underset{[0,0.99]}{max}{x}^n\to 0$ 而 $\underset{[0,1]}{max}{x}^n=1$，两者只差一个端点。用数值网格检查一致收敛时，网格的取点方式决定了能否看到最坏位置：实验一的第二组峰值位于 $x=\frac{1}{\sqrt{2n}}$（$n=10000$ 时 $x=0.007$），等距网格的间距若大于峰宽就会低估峰值。

解决：解析判断时明确上确界所在的区间（闭区间还是开区间、是否含端点），必要时求导定位极值点。数值检验时把候补的最坏位置（区间端点、函数或导数的奇点、噪声的极值点）显式加入网格，或者用两层网格（粗网格定位加细网格细化）搜索，报告时说明网格的密度与覆盖范围，避免把「网格上的最大误差」当作上确界范数。