5.3 函数的极限、连续与初等函数

上一节讨论数列的极限，自变量只取离散的下标。这一节把极限搬到函数上：当 $x$ 逼近某个点 $a$ 时，$f(x)$ 是否稳定地逼近某个值。函数极限是导数的前身（导数就是差商的极限），连续性是它的第一个应用（函数值等于极限值），而闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理、一致连续）是后面所有存在性论证的基础。

连续性有三个层次，区别在于「误差控制是否与位置有关」。逐点连续在每个点单独给误差标准；一致连续用同一个误差标准管住整个区间；Lipschitz 连续进一步要求误差与自变量变化成正比。三个层次的关系是包含的：Lipschitz 蕴含一致连续，一致连续蕴含逐点连续，反之都不成立。区分它们的原因在于实际含义不同：逐点连续只保证「函数图像不断开」，一致连续保证「用有限精度的输入得到有限精度的输出」（数值计算的稳定性），Lipschitz 连续还给出误差的定量上界（用于收敛速度估计）。

本节最后一段内容处理连续性的定量刻画与数值实现。连续模 $\omega (\delta )$ 把「误差控制」写成函数：跨度为 $\delta$ 的两点函数值之差的上确界。它的增长速度给出连续的强弱：Lipschitz 与 Hölder 函数的连续模按幂律增长，间断函数的连续模不随 $\delta$ 减小。同一段内容还包括极限计算中的数值陷阱：$(1-\cos x)/x^2$ 这类表达式在 $x$ 很小时直接计算会损失全部有效数字，需要改写成稳定形式。

5.3.1 函数极限

定义与语言

设函数 $f$ 在点 $a$ 的某个去心邻域内有定义。称 $x\to a$ 时 $f(x)$ 的极限为 $L$，若对任意 $ϵ>0$，存在 $\delta >0$，使得当 $0<|x-a|<\delta$ 时

$$|f(x)-L|<ϵ$$

记作 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=L$。与数列极限的 ε-N 定义相比，控制「靠近」的变量从下标 $N$ 换成距离 $\delta$，结构完全一致：任给误差标准，找到足够小的邻域。

单侧极限把 $x$ 的接近方向分开：左极限 $x\to a^{-}$（$a-\delta <x<a$）与右极限 $x\to a^{+}$。极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。

无穷远与无穷大：$x\to +\mathrm{\infty }$ 时 $f(x)\to L$ 的写法是把邻域换成 $x>M$；$f(x)\to +\mathrm{\infty }$ 的写法是把误差标准换成任意大的界。

Heine 归结原则：$\underset{x\to a}{lim}f(x)=L$ 的充要条件是对任何满足 $x_n\to a$（$x_n\ne a$）的数列，都有 $f(x_n)\to L$。这条原则把函数极限与数列极限连接起来，两个方向都有用：证明极限不存在时构造两个数列给出不同的极限值；证明极限存在时由数列极限的唯一性得到函数极限的唯一性。

运算法则与夹逼：两个函数极限的四则运算与数列版本相同；夹逼定理也相同：若在 $a$ 的附近有 $g(x)\le f(x)\le h(x)$ 且 $g$、$h$ 的极限都是 $L$，则 $f$ 的极限也是 $L$。常用的两个极限 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$ 与 $\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{1/x}=e$ 由夹逼与单调有界定理得到，它们是初等函数求导与展开的基础。

5.3.2 连续与间断点

连续的定义

称 $f$ 在点 $a$ 连续，若 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$。写成 ε-δ 语言：对任意 $ϵ>0$ 存在 $\delta >0$，当 $|x-a|<\delta$ 时 $|f(x)-f(a)|<ϵ$（注意这里去掉了 $x\ne a$ 的限制，连续的定义比极限多要求函数值参与）。

三种说法等价：$f$ 在 $a$ 连续；$f$ 在 $a$ 的左右极限都存在且等于 $f(a)$；$f$ 在 $a$ 处满足 $x_n\to a$ 时有 $f(x_n)\to f(a)$（归结原则）。

间断点按极限的行为分类。可去间断点：左右极限存在且相等，但函数值不等于极限值或函数在该点无定义（如 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$，补充定义后连续）。跳跃间断点：左右极限存在但不相等（如符号函数在 $x=0$，左极限 $-1$、右极限 $1$）。第二类间断点：至少一个单侧极限不存在（如 $\sin (1/x)$ 在 $x=0$，$\frac{1}{x}$ 在 $x=0$）。前两类合称第一类间断点。

连续函数的运算：连续函数的和、差、积、商（分母不为零处）仍连续；连续函数的复合仍连续。初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数及其复合）在定义域内连续，这一条使大多数函数的连续性检查可以省略，也让求极限时可以直接代入（这是「直接代入」的合法性来源）。

5.3.3 闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数满足三条基本定理，它们的证明都依赖紧性（有界闭集）与连通性（区间）。

最值定理：闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数取到最大值与最小值。证明思路是先证有界（用有限覆盖定理把每点的局部有界拼成整体有界），再证上确界被取到（由上确界的第二条性质取一串点，用 Bolzano-Weierstrass 提取收敛子列，由连续性得极限点的函数值等于上确界）。

介值定理：闭区间上的连续函数取到两个函数值之间的任何值。若 $f(a)<c<f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f(\xi )=c$。证明用二分法：不断取中点，保留函数值跨越 $c$ 的那一半区间，由区间套定理得到公共点，再由连续性得该点的函数值为 $c$。零点定理是 $c=0$ 的特例，它是数值求根算法的理论基础（二分法、试位法都建立在它上面）。

反函数连续性：闭区间上严格单调的连续函数的反函数连续。单调性提供一一对应，紧性保证反函数的连续性。

一致连续（Cantor 定理）：闭区间上的连续函数一致连续。这条结论把逐点连续升级为整体一致，证明依赖有限覆盖定理，也是「紧集上的连续函数一致连续」的特例。

5.3.4 连续模、Lipschitz 与 Hölder 条件

一致连续的定义

$f$ 在集合 $E$ 上一致连续，若对任意 $ϵ>0$，存在 $\delta >0$（只依赖 $ϵ$，不依赖具体位置），使得对一切 $x,y\in E$ 满足 $|x-y|<\delta$ 时 $|f(x)-f(y)|<ϵ$。

与逐点连续的差别在 $\delta$ 的选择：逐点连续允许每个点用自己的 $\delta$，一致连续要求整个集合共用。反例说明这个差别是实质性的：$f(x)=x^2$ 在 $\text{R}$ 上逐点连续但不一致连续（同样大的 $ϵ$，$x$ 越大需要的 $\delta$ 越小，取 $x,y$ 相距 $\sqrt{x^2+1}-x$ 就能让函数值差 $1$，而这个距离随 $x$ 增大趋于零，不存在统一的 $\delta$）；$f(x)=\sin (1/x)$ 在 $(0,1]$ 上连续但不一致连续（摆动幅度不随距离减小）。

判定要点：在闭区间上，连续与一致连续等价（Cantor 定理）；在开区间或无穷区间上，一致连续需要额外条件，常见的充分条件是导数有界（Lipschitz 条件）。

连续模

把一致连续的量写成函数，得到连续模：

$$\omega (\delta )=sup\{|f(x)-f(y)|:x,y\in E,|x-y|\le \delta \}$$

$\omega$ 随 $\delta$ 单调不减，$\omega (0^{+})=0$ 当且仅当 $f$ 在 $E$ 上一致连续。它对连续性的强弱给出定量分级：

$f$ 满足 Lipschitz 条件（记为 $f\in \mathrm{Lip}(L)$）：$|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$，此时 $\omega (\delta )\le L\delta$，增长指数为 $1$。

$f$ 满足 Hölder 条件（指数 $\alpha \in (0,1]$）：$|f(x)-f(y)|\le L|x-y{|}^{\alpha }$，此时 $\omega (\delta )=O({\delta }^{\alpha })$。$\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上是 $\alpha =1/2$ 的例子：$\omega (\delta )=\sqrt{\delta }$。

既不 Lipschitz 也不 Hölder 的一致连续函数存在，它们的连续模可以更慢（例如 $1/\ln (1/\delta )$ 类型的增长）。

不连续函数的连续模不趋于零：阶跃函数（$x>0$ 时取 $1$，否则取 $0$）在 $[-1,1]$ 上的 $\omega (\delta )\equiv 1$，无论 $\delta$ 多小。

为什么要区分这三种条件

三个条件对应三种保证。逐点连续保证函数值不跳变，是理论分析的最低要求。一致连续保证「输入误差小则输出误差小」这件事在整个区域一致成立，这是数值计算的基本前提：只有一致连续的函数才能用有限精度输入得到有限精度输出，误差不随位置恶化。Lipschitz 条件给出误差的定量上界，用于分析算法的收敛速度：压缩映射原理的压缩常数就是 Lipschitz 常数，梯度下降的步长上界由梯度的 Lipschitz 常数决定。连续模是这三者的统一语言：$\omega (\delta )\le L{\delta }^1$ 是 Lipschitz，$\omega (\delta )\le L{\delta }^{\alpha }$（$\alpha <1$）是 Hölder，$\omega (\delta )\to 0$ 是一致连续。

5.3.5 数值实验

实验一：极限计算中的数值陷阱

三个常见极限都可以解析求出，值分别是 $1/2$、$1$、$1/2$。直接代入的写法在 $x$ 很小时会因两个接近的数相减而失去有效数字，改写之后精度恢复到机器精度水平。

import math

xs = [1e-2, 1e-4, 1e-6, 1e-8, 1e-10, 1e-16]
print("(1 - cos x)/x^2 的两种算法（极限为 0.5）：")
print(f"{'x':>8} {'直接计算':>22} {'相对误差':>12} {'稳定算法':>22} {'相对误差':>12}")
for x in xs:
    direct = (1.0 - math.cos(x)) / (x * x)
    stable = 2.0 * math.sin(x / 2.0) ** 2 / (x * x)
    print(f"{x:>8.0e} {direct:>22.6e} {abs(direct - 0.5) / 0.5:>12.3e} "
          f"{stable:>22.6e} {abs(stable - 0.5) / 0.5:>12.3e}")

print("(e^x - 1)/x 的两种算法（极限为 1）：")
for x in [1e-8, 1e-12, 1e-16]:
    direct = (math.exp(x) - 1.0) / x
    stable = math.expm1(x) / x
    print(f"  x = {x:.0e}: 直接计算 = {direct:.6e}（误差 {abs(direct - 1):.3e}）, "
          f"expm1 = {stable:.6e}（误差 {abs(stable - 1):.3e}）")

print("(sqrt(1+x) - 1)/x 的两种算法（极限为 0.5）：")
for x in [1e-8, 1e-12, 1e-16]:
    direct = (math.sqrt(1.0 + x) - 1.0) / x
    stable = 1.0 / (math.sqrt(1.0 + x) + 1.0)
    print(f"  x = {x:.0e}: 直接计算 = {direct:.6e}（误差 {abs(direct - 0.5):.3e}）, "
          f"共轭化简 = {stable:.6e}（误差 {abs(stable - 0.5):.3e}）")

输出：

(1 - cos x)/x^2 的两种算法（极限为 0.5）：
       x                   直接计算         相对误差                   稳定算法         相对误差
   1e-02           4.999958e-01    8.333e-06           4.999958e-01    8.333e-06
   1e-04           5.000000e-01    6.077e-09           5.000000e-01    8.333e-10
   1e-06           5.000445e-01    8.890e-05           5.000000e-01    8.338e-14
   1e-08           0.000000e+00    1.000e+00           5.000000e-01    0.000e+00
   1e-10           0.000000e+00    1.000e+00           5.000000e-01    0.000e+00
   1e-16           0.000000e+00    1.000e+00           5.000000e-01    0.000e+00
(e^x - 1)/x 的两种算法（极限为 1）：
  x = 1e-08: 直接计算 = 1.000000e+00（误差 6.077e-09）, expm1 = 1.000000e+00（误差 5.000e-09）
  x = 1e-12: 直接计算 = 1.000089e+00（误差 8.890e-05）, expm1 = 1.000000e+00（误差 5.000e-13）
  x = 1e-16: 直接计算 = 0.000000e+00（误差 1.000e+00）, expm1 = 1.000000e+00（误差 0.000e+00）
(sqrt(1+x) - 1)/x 的两种算法（极限为 0.5）：
  x = 1e-08: 直接计算 = 5.000000e-01（误差 3.039e-09）, 共轭化简 = 5.000000e-01（误差 1.250e-09）
  x = 1e-12: 直接计算 = 5.000445e-01（误差 4.445e-05）, 共轭化简 = 5.000000e-01（误差 1.250e-13）
  x = 1e-16: 直接计算 = 0.000000e+00（误差 5.000e-01）, 共轭化简 = 5.000000e-01（误差 0.000e+00）

三组数据的形态一致。$x$ 从 ${10}^{-2}$ 减到 ${10}^{-6}$ 时直接计算的误差没有单调下降，反而在 ${10}^{-6}$ 处回升到 $8.9\times {10}^{-5}$，原因是 $\cos x$ 与 $1$ 的差落在机器精度的量级（$x={10}^{-6}$ 时 $\cos x-1\approx -5\times {10}^{-13}$，只有约三位有效数字），相减之后剩下的有效数字很少。$x={10}^{-8}$ 及更小时，$\cos x$ 在双精度下等于 $1$，相减结果为零，相对误差 $100\mathrm{\%}$。改写后的算法全部达到机器精度：$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{2{\sin }^2(x/2)}{x^2}$ 把相减移到了 $\sin$ 内部（$\sin$ 在零点附近没有抵消），$\frac{e^x-1}{x}$ 用 expm1（直接计算 $e^x-1$ 的库函数，内部做了补偿），$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$ 用共轭化简把减法换成了加法。

同一类陷阱在统计学与优化里也常见：方差计算中的 $\mathbb{E}[X^2]-(\mathbb{E}[X]{)}^2$、逻辑回归的 $\log (1+e^{-z})$、交叉熵中的 $\log p$（$p$ 接近 $1$ 时），都有对应的稳定形式（Welford 递推、log1p、-expm1）。

实验二：一致连续的数值判定

一致连续的直接检验是观察「跨度固定为 $h$ 时的最大函数值差」是否随 $h\to 0$ 趋于零。两组数据：$\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上（一致连续）与 $\sin (1/x)$ 在 $[{10}^{-3},1]$ 上（连续但不一致连续）。

import math
import numpy as np

def sup_diff(f, lo, hi, h, n=40000):
    x = np.linspace(lo, hi - h, n)
    return float(np.max(np.abs(f(x + h) - f(x))))

print("f(x) = x^2 在区间上的最大斜率（近似 Lipschitz 常数）：")
for b in [1.0, 10.0]:
    x = np.linspace(0, b, 100001)
    slope = np.max(np.abs((x[1:] ** 2 - x[:-1] ** 2) / (x[1:] - x[:-1])))
    print(f"  [0, {b:.0f}]: 最大斜率 = {slope:.6f}（理论值 2b = {2 * b:.1f}）")

print("f(x) = sqrt(x) 在 (0, 1] 上的最大斜率（随区间缩小）：")
for lo in [1e-2, 1e-4, 1e-6]:
    x = np.linspace(lo, 1.0, 200001)
    slope = np.max(np.abs((np.sqrt(x[1:]) - np.sqrt(x[:-1])) / (x[1:] - x[:-1])))
    print(f"  从 {lo:.0e} 起的最大斜率 = {slope:.3e}（理论值 1/(2 sqrt(lo)) = "
          f"{1 / (2 * math.sqrt(lo)):.1e}）")

print("一致连续的判别：sup |f(x+h) - f(x)| 随 h 的变化")
print(f"{'h':>10} {'sqrt(x) 在 [0,1]':>22} {'sin(1/x) 在 [0.001,1]':>26}")
for h in [1e-2, 1e-3, 1e-4, 1e-5]:
    a = sup_diff(np.sqrt, 0.0, 1.0, h)
    b = sup_diff(lambda t: np.sin(1.0 / t), 1e-3, 1.0, h)
    print(f"{h:>10.0e} {a:>22.6e} {b:>26.6e}")

输出：

f(x) = x^2 在区间上的最大斜率（近似 Lipschitz 常数）：
  [0, 1]: 最大斜率 = 1.999990（理论值 2b = 2.0）
  [0, 10]: 最大斜率 = 19.999900（理论值 2b = 20.0）
f(x) = sqrt(x) 在 (0, 1] 上的最大斜率（随区间缩小）：
  从 1e-02 起的最大斜率 = 4.999e+00（理论值 1/(2 sqrt(lo)) = 5.0e+00）
  从 1e-04 起的最大斜率 = 4.939e+01（理论值 1/(2 sqrt(lo)) = 5.0e+01）
  从 1e-06 起的最大斜率 = 2.899e+02（理论值 1/(2 sqrt(lo)) = 5.0e+02）
一致连续的判别：sup |f(x+h) - f(x)| 随 h 的变化
         h        sqrt(x) 在 [0,1]       sin(1/x) 在 [0.001,1]
     1e-02           1.000000e-01               1.989633e+00
     1e-03           3.162278e-02               1.998970e+00
     1e-04           1.000000e-02               1.986319e+00
     1e-05           3.162278e-03               1.990829e+00

三组数据对应三个结论。

Lipschitz 常数的估计。$f(x)=x^2$ 在 $[0,b]$ 上的最大差商是 $2b$（在区间右端附近取得），数值结果 $1.999990$ 与 $19.999900$ 与理论值相符（偏差来自网格采样，网格越密越接近）。这个最大差商给出 Lipschitz 常数，也是「导数有界蕴含 Lipschitz」这条结论的数值形态。

区间位置对 Lipschitz 性的影响。$\sqrt{x}$ 在 $(0,1]$ 上的最大差商是 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$，在 $x$ 接近 $0$ 时无界。数值上从 ${10}^{-2}$ 处的 $5.0$ 增到 ${10}^{-4}$ 处的 $49.4$，再到 ${10}^{-6}$ 处的 $289.9$（采样原因使最后一项低于理论值 $500$，因为网格步长 $5\times {10}^{-6}$ 已经与 ${10}^{-6}$ 同量级）。结论是 $\sqrt{x}$ 在含 $0$ 的区间上不满足 Lipschitz 条件，但它仍然一致连续（由 Cantor 定理，$[0,1]$ 闭区间上连续）。

一致连续的判定数据。$\sqrt{x}$ 的列显示 sup 差按 $\sqrt{h}$ 下降：$h$ 缩小 $100$ 倍，sup 差缩小 $10$ 倍（$1.0\times {10}^{-1}\to 3.2\times {10}^{-2}\to 1.0\times {10}^{-2}\to 3.2\times {10}^{-3}$），趋于零，与一致连续相符，同时也印证了 Hölder 指数 $1/2$。$\sin (1/x)$ 的列显示 sup 差稳定在 $2$ 附近，不随 $h$ 下降，与不一致连续相符。需要说明的是数值判定有边界：$h$ 继续减小到 ${10}^{-6}$ 以下时，$\sin (1/x)$ 的摆动周期在区间左端已经短于 $h$，可分辨的最大差值受采样密度限制而失真，而且从理论上看，当 $h$ 小于 $2\times ({10}^{-3}{)}^2$ 时，区间 $[{10}^{-3},1]$ 内不再存在能跨越完整振荡的两点。一致连续的判断最终依赖理论论证（闭区间上的连续函数必一致连续），数值实验的作用是给出直观与量级。

实验三：连续模的估计

连续模把「误差控制」写成关于跨度的函数。对三类函数计算 $\omega (\delta )$ 并估计它的增长指数。

import math
import numpy as np

def modulus(f, h, lo=0.0, hi=1.0, n=200000):
    x = np.linspace(lo, hi - h, n)
    return float(np.max(np.abs(f(x + h) - f(x))))

funcs = [("x^2", lambda t: t ** 2, 0.0, 1.0),
         ("sqrt(x)", np.sqrt, 0.0, 1.0),
         ("阶跃（x > 0 取 1）", lambda t: np.where(t > 0, 1.0, 0.0), -0.5, 0.5)]
for name, f, lo, hi in funcs:
    print(f"{name} 在 [{lo}, {hi}] 上的连续模：")
    prev = None
    for h in [1e-1, 1e-2, 1e-3, 1e-4, 1e-5]:
        w = modulus(f, h, lo, hi)
        if prev is None:
            slope_txt = ""
        else:
            slope_txt = f", 局部斜率 = {math.log(w / prev[1]) / math.log(h / prev[0]):.3f}"
        print(f"  delta = {h:.0e}: omega = {w:.6e}{slope_txt}")
        prev = (h, w)

输出：

x^2 在 [0.0, 1.0] 上的连续模：
  delta = 1e-01: omega = 1.900000e-01
  delta = 1e-02: omega = 1.990000e-02, 局部斜率 = 0.980
  delta = 1e-03: omega = 1.999000e-03, 局部斜率 = 0.998
  delta = 1e-04: omega = 1.999900e-04, 局部斜率 = 1.000
  delta = 1e-05: omega = 1.999990e-05, 局部斜率 = 1.000
sqrt(x) 在 [0.0, 1.0] 上的连续模：
  delta = 1e-01: omega = 3.162278e-01
  delta = 1e-02: omega = 1.000000e-01, 局部斜率 = 0.500
  delta = 1e-03: omega = 3.162278e-02, 局部斜率 = 0.500
  delta = 1e-04: omega = 1.000000e-02, 局部斜率 = 0.500
  delta = 1e-05: omega = 3.162278e-03, 局部斜率 = 0.500
阶跃（x > 0 取 1） 在 [-0.5, 0.5] 上的连续模：
  delta = 1e-01: omega = 1.000000e+00
  delta = 1e-02: omega = 1.000000e+00, 局部斜率 = -0.000
  delta = 1e-03: omega = 1.000000e+00, 局部斜率 = -0.000
  delta = 1e-04: omega = 1.000000e+00, 局部斜率 = -0.000
  delta = 1e-05: omega = 1.000000e+00, 局部斜率 = -0.000

三类函数的局部斜率分别稳定在 $1.000$、$0.500$、$0.000$。$x^2$ 的斜率 $1$ 与 Lipschitz 条件相符（$\omega (\delta )=2\delta -{\delta }^2\approx 2\delta$）；$\sqrt{x}$ 的斜率 $1/2$ 与 Hölder 指数 $1/2$ 相符（$\omega (\delta )=\sqrt{\delta }$）；阶跃函数的斜率 $0$ 表示 $\omega$ 不随 $\delta$ 衰减，函数不连续。用局部斜率估计增长指数是数值分析中的常用手法：把 $\omega (\delta )$ 与 $\delta$ 取对数后做线性拟合，斜率就是指数，这一操作在数值求积的误差阶、迭代法的收敛阶、优化算法的收敛速率的实验测定中反复出现。

5.3.6 本节小结

从极限到连续的三级阶梯

本节把数列极限推广到函数极限，再引出连续性的三层结构。函数极限用 ε-δ 定义，Heine 归结原则把它与数列极限连通，两侧的运算法则与夹逼定理与数列版本一致。连续要求极限值等于函数值，间断点按单侧极限的存在与相等情况分成可去、跳跃、第二类三种。闭区间上的连续函数有三条基本结论：最值定理（取到最大最小值）、介值定理（取到中间值，零点定理是特例，也是数值求根的基础）、一致连续（Cantor 定理）。一致连续与逐点连续的差别在于误差标准是否与位置有关，闭区间上两者等价，开区间或无穷区间上需要额外条件。连续模 $\omega (\delta )$ 给出定量分级：$x^2$ 的局部斜率 $1.000$（Lipschitz）、$\sqrt{x}$ 的 $0.500$（Hölder 指数 $1/2$）、阶跃函数的 $0.000$（不连续），局部斜率的大小直接对应当 $\delta$ 减小时误差控制的性质。数值上还要注意极限计算的稳定性：$(1-\cos x)/x^2$ 与 $\sqrt{1+x}-1$ 这类表达式在 $x$ 很小时直接计算会失去全部有效数字（$x={10}^{-8}$ 时误差 $100\mathrm{\%}$），改写为 $2{\sin }^2(x/2)/x^2$ 与 $1/(\sqrt{1+x}+1)$ 之后恢复到机器精度，这类改写（消除接近数相减）是数值实现中的标准动作。

连续函数最重要的一条性质是「局部可以用直线近似」，这就是下一节的微分学：导数把函数在一点附近的行为压缩成一个数，中值定理与 Taylor 公式把这个数推广到整个区间的估计，而本节的一致连续与 Lipschitz 条件正是微分学结论（导数有界）的连续语言表述。

练习题

第 1 题 概念推导

(a) 用 ε-δ 定义证明 $\underset{x\to 3}{lim}(2x-1)=5$。(b) 用 Heine 归结原则证明 $\underset{x\to 0}{lim}\sin \frac{1}{x}$ 不存在。(c) 证明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 上满足 Lipschitz 条件，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上一致连续；举例说明反过来不成立。

参考答案

(a) 任给 $ϵ>0$，需要找 $\delta >0$ 使 $0<|x-3|<\delta$ 时 $|(2x-1)-5|<ϵ$。计算 $|(2x-1)-5|=|2x-6|=2|x-3|$，因此取 $\delta =ϵ/2$ 即可：当 $|x-3|<\delta$ 时 $2|x-3|<2\delta =ϵ$。结论成立。

(b) 由归结原则，只需构造两个趋于零的数列使函数值趋于不同的极限。取 $x_n=\frac{1}{n\pi }$，则 $x_n\to 0$ 且 $\sin \frac{1}{x_n}=\sin (n\pi )=0\to 0$；取 $y_n=\frac{1}{2n\pi +\pi /2}$，则 $y_n\to 0$ 且 $\sin \frac{1}{y_n}=\sin (2n\pi +\pi /2)=1\to 1$。两个子列的极限不同，由唯一性知极限不存在（这里两个单侧极限都不存在，属于第二类间断点）。

(c) 设 $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$ 对一切 $x,y\in [a,b]$ 成立。任给 $ϵ>0$，取 $\delta =ϵ/L$（$L>0$；$L=0$ 时常函数，结论显然），则当 $|x-y|<\delta$ 时 $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|<ϵ$。$\delta$ 只依赖 $ϵ$，与位置无关，因此一致连续。

反例：$f(x)=\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上一致连续（闭区间上连续，由 Cantor 定理），但不满足 Lipschitz 条件。证明不满足：取 $x=0$、$y=t$，则 $\frac{|\sqrt{t}-0|}{t-0}=\frac{1}{\sqrt{t}}$ 在 $t\to 0^{+}$ 时无界，不存在有限的 $L$ 使不等式对一切 $x,y$ 成立。实验二的数值形态：从 ${10}^{-2}$ 起的最大差商 $5.0$，从 ${10}^{-6}$ 起的最大差商约 $289.9$（理论值 $500$），随区间贴近零点而增大。

第 2 题 计算推理

(a) 求 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1-\cos 2x}{x^2}}$ 与 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\tan x-\sin x}{x^3}}$。(b) 判断下列函数在 $x=0$ 处的间断点类型：$\frac{\sin x}{x}$、$\frac{|x|}{x}$、$x\sin \frac{1}{x}$（补充定义 $f(0)=0$ 后是否连续）。(c) 估计 $f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $[0,1]$ 上的连续模增长指数。

参考答案

(a) 第一式用倍角公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$：

$$\frac{1-\cos 2x}{x^2}=\frac{2{\sin }^{2}x}{x^2}=2{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\to 2$$

第二式提出 $\tan x$（或通分）：

$$\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3\cos x}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot \frac{1}{\cos x}\to 1\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$$

两式都用到了基本极限 $\frac{\sin x}{x}\to 1$ 与 $\frac{1-\cos x}{x^2}\to \frac{1}{2}$。

(b) $\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 无定义但左右极限都等于 $1$：可去间断点，补充定义 $f(0)=1$ 后连续。$\frac{|x|}{x}$ 在 $x=0$ 的左极限 $-1$、右极限 $1$：跳跃间断点（第一类）。$x\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 无定义，但 $|x\sin \frac{1}{x}|\le |x|\to 0$，因此左右极限都是 $0$：可去间断点，补充定义 $f(0)=0$ 后连续。需要注意的是这个函数在 $x=0$ 附近的振荡虽然无界频繁，但振幅被 $|x|$ 压住，与 $\sin \frac{1}{x}$ 的情形不同。

(c) 对 $\sqrt[3]{x}$ 取 $x=0$、$y=s$，差商为 $s^{1/3}/s=s^{-2/3}$，随 $s\to 0$ 发散，因此不是 Lipschitz。由 Hölder 形式 $|\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}|\le |x-y{|}^{1/3}$（可由 $|a^3-b^3|\ge |a-b{|}^3$ 对非负数推出），指数 $\alpha =1/3$，连续模 $\omega (\delta )={\delta }^{1/3}$。数值上把 $\delta$ 从 ${10}^{-3}$ 减到 ${10}^{-6}$，$\omega$ 从 $0.1$ 变到 $0.01$，局部斜率约为 $1/3$，可以用实验三的代码验证（把函数换成 np.cbrt 或 lambda t: np.sign(t) * np.abs(t) ** (1/3)）。

第 3 题 代码验证

用本节代码做三组实验并解释：(a) 把实验一中 $(1-\cos x)/x^2$ 的 $x$ 范围扩到 ${10}^{-20}$，观察直接计算的输出；(b) 在实验二里把 $\sin (1/x)$ 的定义域改为 $[{10}^{-1},1]$ 与 $[{10}^{-6},1]$，观察一致连续的数值判定如何随定义域变化；(c) 在实验三里对 $f(x)=x^4$ 与 $f(x)=\sqrt[4]{x}$ 估计连续模的局部斜率。

参考答案

(a) $x={10}^{-20}$ 时直接计算的输出是 $0.0$（相对误差 $100\mathrm{\%}$），与 $x={10}^{-8}$ 时相同；稳定算法输出 $0.5$。原因是双精度下 $\cos x$ 对任何 $|x|<{10}^{-8}$ 都舍入为 $1.0$，相减得到精确的零。这个现象说明直接计算在 $x$ 小到一定程度后输出的是完全错误的结果（恒为零），而不是一个精度较差的结果，并且无法通过观察输出发现问题（没有异常值或警告），只能靠改写公式或做量纲分析避免。实践中的检查手段是：对同一表达式用两种不同写法计算并比较，或者用高精度库（mpmath 一类）在小范围内对照。

(b) 定义域对判定影响明显。取 $[{10}^{-1},1]$：$\sin (1/x)$ 的最大频率在左端点 $x={10}^{-1}$（周期 $2\pi x^2\approx 0.063$），取 $h={10}^{-2}$ 时 sup 差已经接近 $2$（跨越完整振荡），说明不一致连续；取 $[{10}^{-6},1]$：左端点的周期是 $2\pi \times {10}^{-12}$，远小于任何实用的 $h$，可分辨的区域内函数看起来平滑，$h={10}^{-2}$ 时 sup 差由区间中部的振荡决定，仍然接近 $2$（因为 $x\approx 0.1$ 附近的振荡尺度与 $h$ 匹配）。结论：只要定义域的左端点趋于零，无论从哪个尺度看，总能找到与 $h$ 匹配的振荡区域使 sup 差不衰减；数值实验的「分辨率」取决于采样密度，判定仍依据理论（$\sin (1/x)$ 在 $(0,1]$ 上不可能一致连续，因为取 $x_n=\frac{1}{2n\pi +\pi /2}$、$y_n=\frac{1}{2n\pi }$ 时 $x_n-y_n\to 0$ 而函数值差恒为 $1$）。

(c) $x^4$ 的局部斜率为 $1.000$（Lipschitz，$\omega (\delta )=2\delta$ 量级，因为 $|x^4-y^4|\le 4max|x{|}^3|x-y|\le 4\delta$ 在 $[0,1]$ 上），$\sqrt[4]{x}$ 的局部斜率为 $0.250$（Hölder 指数 $1/4$）。数据形态与实验三相同，只是斜率数值不同。这条练习说明连续模的增长指数由函数在「最陡处」的局部行为决定：$x^4$ 的导数有界（斜率 $1$），$\sqrt[4]{x}$ 在零点附近的导数发散（斜率 $1/4$），指数 $0.250$ 正好等于 $1/4$。

第 4 题 综合应用

某数值程序需要计算函数 $g(t)={\displaystyle \frac{e^t-1-t}{t^2}}$（在 $t=0$ 处的极限是 $1/2$，来自 Taylor 展开）。输入 $t$ 的量级从 $1$ 到 ${10}^{-15}$，程序要求相对误差不超过 ${10}^{-10}$。请给出实现方案：如何改写表达式使所有量级的输入都达到精度要求、如何验证、以及在 $t$ 小于机器精度相关尺度时应当如何处理；再说明这个问题与本节「一致连续」概念的关联。

参考答案

改写：直接写 (np.exp(t) - 1 - t) / t**2 在 $t$ 很小时会连续经历两次抵消：$e^t-1$ 已经损失有效数字，再减去 $t$ 又损失一次，$t={10}^{-8}$ 时结果可能只剩几位有效数字，$t={10}^{-16}$ 时结果为零。改写分两段：$t$ 较大时（例如 $|t|>{10}^{-3}$）用 (np.expm1(t) - t) / t**2（expm1 处理第一次抵消）；$t$ 较小时用幂级数 $g(t)=\frac{1}{2}+\frac{t}{6}+\frac{t^2}{24}+\cdots$，例如取到 $t^3$ 项：

$$g(t)\approx \frac{1}{2}+\frac{t}{6}+\frac{t^2}{24}+\frac{t^3}{120}$$

当 $|t|\le {10}^{-3}$ 时，被截掉的项量级为 $t^4/720\approx {10}^{-15}$，相对误差远小于 ${10}^{-10}$，满足要求。分段阈值取 ${10}^{-3}$ 是因为两段在阈值处都达到 ${10}^{-13}$ 以上的相对精度，重叠区间保证过渡平滑。

验证：三条手段。其一，与高精度计算对照：用 mpmath 或 decimal 模块在 $t\in \{{10}^{-1},{10}^{-3},{10}^{-6},{10}^{-10},{10}^{-15}\}$ 上算出参考值，比较相对误差；其二，用 Taylor 展开独立核对小 $t$ 段（两段实现互不依赖）；其三，检查函数在 $t\to 0$ 的极限是否稳定收敛到 $0.5$（用一系列递减的 $t$ 观察输出，若在小 $t$ 处输出突然变为 $0$ 或出现随机波动，说明抵消未消除）。

极小 $t$ 的处理：当 $t$ 小于约 ${10}^{-8}$ 时（$\exp$ 的抵消尺度），幂级数段直接给出 $g\approx 1/2+t/6$，其中 $t/6$ 项已经小于 ${10}^{-8}$，输出实际上等于 $0.5$，这是正确结果（极限值），不是错误。当 $t$ 小到与次正规数或机器精度边界相当时，使用者应当明确问题的物理量纲：如果 $t$ 的来源是某个差值，应当回到上游消除那次相减（例如用 log1p、expm1 计算 $t$ 本身），而不是在下游修补。

与一致连续的联系：这个问题是「连续模与数值稳定性」的具体形态。$g$ 作为 $t$ 的函数在 $[-1,1]$ 上连续且可微，导数有界（$|g^{\prime }|\le 1$ 量级），因此 Lipschitz 连续，理论上误差与输入误差成正比。数值实现的困难不来自函数本身的性质，而来自表达式的写法：直接写法在 $t$ 小时的有效计算区间被压缩到机器精度的若干倍，等价于把 Lipschitz 常数在数值上放大到 ${10}^{16}$ 的量级。改写之后，数值行为与理论行为一致（输入误差 ${10}^{-16}$ 对应输出误差 ${10}^{-15}$ 量级），这正是数值计算中「按连续模的尺度选择实现方式」的含义。

常见错误

错误 1 · 用「代入特殊点或数列」代替极限的存在性证明

原因：计算极限时用几个点或几个数列的数值结果代替证明，会漏掉极限不存在的情形。$\underset{x\to 0}{lim}\sin \frac{1}{x}$ 沿 $x_n=\frac{1}{n\pi }$ 观察到的值恒为 $0$，沿 $y_n=\frac{1}{2n\pi +\pi /2}$ 观察恒为 $1$，只用一个数列会得出错误结论。同样的错误出现在连续性的验证中：用少数几个采样点确认「函数值接近极限值」，无法排除可去或跳跃间断。

解决：用 Heine 归结原则时说明「对任意数列都成立」，或者用 ε-δ 定义给出 $\delta$ 的构造。数值验证可以作为发现手段，但结论要回到定义或定理；检查极限是否存在时，主动构造两类数列（分别落在不同的振荡相位或不同的侧）来测试。

错误 2 · 混用逐点连续与一致连续

原因：两者的差别不显眼，但在数值与算法分析中影响很大。$x^2$ 在 $\text{R}$ 上逐点连续但不一致连续，$f(x)=1/x$ 在 $(0,1]$ 上逐点连续但不一致连续；把「逐点连续」当作「输入误差小则输出误差小」的保证会导致错误的误差估计（例如在开区间上引用 Cantor 定理）。反过来，在闭区间上要求额外的条件（例如证明 Lipschitz）也是多余的，闭区间上连续必一致连续。

解决：记住判定表：闭区间上连续等价于一致连续；开区间或无穷区间上需要额外条件（导数有界、连续模趋于零、极限存在且有限）。写误差估计时明确使用的条件与所在区间，不要把在一个区间上成立的结论跨区间使用。

错误 3 · 在数值代码中直接写有抵消的表达式

原因：$(1-\cos x)/x^2$、$(\sqrt{1+x}-1)/x$、$(e^x-1)/x$ 这类表达式在小量输入下会失去全部有效数字（实验一的数据：$x={10}^{-8}$ 时前两个的直接计算相对误差分别是 $100\mathrm{\%}$ 与 $3\times {10}^{-9}$，$x={10}^{-16}$ 时都变成 $100\mathrm{\%}$）。这类错误的隐蔽性在于小 $x$ 时输出可能是精确的零而不是乱码，不触发任何异常，只有与参考值比较才能发现。

解决：识别「两个接近的数相减」的结构并改写：$1-\cos x$ 用 $2{\sin }^2(x/2)$；$e^x-1$ 用 expm1；$\log (1+x)$ 用 log1p；$\sqrt{1+x}-1$ 用共轭化简；$\log (1+e^{-z})$ 用 logaddexp。改写之后用小量级输入做回归测试（$x={10}^{-4},{10}^{-8},{10}^{-12}$），把输出与解析极限比较。

错误 4 · 把间断点分类与可去性判断混为一谈

原因：左右极限存在且相等（可去间断点）与函数在该点连续是两个不同的判断。$\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处的左右极限都是 $1$，若直接认为「极限存在所以该点连续」就错了：函数在该点无定义，需要补充定义才连续。类似地，$\frac{|x|}{x}$ 的左右极限都存在（分别是 $-1$ 与 $1$），但函数值不存在，且左右极限不相等，属于跳跃间断点。

解决：判断连续性按三步走：函数在该点是否有定义；左右极限是否存在且相等；函数值是否等于极限值。三步都满足才连续。分类时先看单侧极限是否存在（区分第一类与第二类），再比较两侧是否相等（区分可去与跳跃）。